5.1. Eigenvalues and Eigenvectors

Definition 1.

 

$A$가 $n\times n$ 행렬일 때, $$A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$$를 만족하는 $\mathbf{x}\in R^n\setminus\{\mathbf{0}\}$을 $\lambda$에 대응하는 $A$의 고유벡터라 하고, 스칼라 $\lambda$를 $A$의 고유값이라고 한다.

 

Theorem 5.1.1.

 

$A$가 $n\times n$ 행렬이면 $\lambda$가 $A$의 고유값일 필요충분조건은 $$\det(\lambda I-A)=0$$인 것이다. 이를 $A$의 특성방정식이라 한다.

 

Theorem 5.1.2.

 

$A$가 $n\times n$ 삼각행렬이면 $A$의 고유값은 $A$의 주대각선의 성분이다.

 

Theorem 5.1.3.

 

$A$가 $n\times n$ 행렬일 때, 다음은 모두 동치이다.

(a) $\lambda$가 $A$의 고유값이다.

(b) $(\lambda I-A)\mathbf{x}=\mathbf{0}$은 비자명해를 갖는다.

(c) $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$를 만족하는 $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$이 존재한다.

(d) $\lambda$는 특성방정식 $\det(\lambda I-A)=0$의 해이다.

 

Theorem 5.1.4.

 

양의 정수 $k$에 대해 $\lambda$가 $A$의 고유값이고 $\mathbf{x}$를 $\lambda$에 대응하는 $A$의 고유벡터라 하면 $\lambda^k$는 $A^k$의 고유값이고 $\mathbf{x}$는 $\lambda^k$에 대응하는 $A$의 고유벡터이다.

 

Proof.

 

$A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$이므로 $$A^k\mathbf{x}=A^{k-1}(A\mathbf{x})=A^{k-1}(\lambda\mathbf{x})=\lambda(A^{k-1}\mathbf{x})=\cdots=\lambda^k\mathbf{x}$$ 따라서 $\lambda^k$는 $A^k$의 고유값이고 $\mathbf{x}$는 $\lambda^k$에 대응하는 $A$의 고유벡터이다.

 

Theorem 5.1.5.

 

정방행렬 $A$가 가역일 필요충분조건은 0이 $A$의 고유값이 아닌 경우이다.

 

Proof.

 

$A$를 $n\times n$ 행렬이라 하고 $A$의 특성방정식을 $$\det(\lambda I-A)=\lambda^n+c_1\lambda^{n-1}+\cdots+c_{n-1}\lambda+c_n$$라 하면 $\lambda=0$일 때 $$\det(-A)=(-1^n\det(A)=c_n$$이다. 따라서 $\lambda=0$이 $A$의 고유값일 필요충분조건은 $c_n=0$, 즉 $\det(A)=0$으로 $A$가 비가역인 경우이고 그 대우로 $A$가 가역일 필요충분조건은 0이 $A$의 고유값이 아닐 때이다.

 

Theorem 5.1.6. (Equivalent Statements)

 

(생략)