2020. 7. 18. 18:57ㆍ카테고리 없음
Definition 1.
$T:V\rightarrow W$가 서로 다른 $V$의 벡터를 서로 다른 $W$의 벡터로 대응하는 선형 변환일 때, $T$는 단사이다.
Definition 2.
$T:V\rightarrow W$가 모든 $W$의 벡터가 어떤 $V$의 벡터의 상일 때, $T$는 전사이다.
Theorem 8.2.1.
$T:V\rightarrow W$가 선형변환일 때, 다음은 동치이다.
(a) $T$는 단사이다.
(b) $\ker(T)=\{\mathbf{0}\}$
Proof.
(a) $\Rightarrow$ (b): $T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$이다. $T$가 단사이므로, $\mathbf{0}$이 아닌 벡터의 상은 $\mathbf{0}$이 아니다. 따라서 $\ker(T)=\{\mathbf{0}\}$.
(b) $\Rightarrow$ (a): 서로 다른 $\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$에 대해 $T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v})=T(\mathbf{u}-\mathbf{v})\neq\mathbf{0}$이므로 $T(\mathbf{u})\neq T(\mathbf{v})$이므로 $T$는 단사이다.
Theorem 8.2.2.
$V$가 유한차원 벡터공간이고, $T:V\rightarrow V$가 선형 연산자일 때, 다음은 동치이다.
(a) $T$는 단사이다.
(b) $\ker(T)=\{\mathbf{0}\}$
(c) $T$는 전사이다.
Proof.
(b) $\Rightarrow$ (c): $\textrm{nullity}(T)=\dim(\ker(T))=0$이므로 $\textrm{rank}(T)=\dim(V)$이다. 따라서 $R(T)=V$이고 $T$는 전사이다.
(c) $\Rightarrow$ (b): $\textrm{rank}(T)=\dim(R(T))=\dim(V)$이므로 $\textrm{nullity}(T)=0$이다. 따라서 $\ker(T)=\{\mathbf{0}\}$이다.
Definition 3.
선형변환 $T:V\rightarrow W$가 전사이며 단사일 때, $T$는 동형사상이고 $V$와 $W$는 동형이다.
Theorem 8.2.3.
모든 $n$차원 실벡터공간은 $R^n$과 동형이다.
Proof.
(a) $T:V\rightarrow R^n$이 동형사상임을 보이자. $V$의 한 기저를 $\{\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\ldots,\mathbf{v_n}\}$라 하고, $\mathbf{u}=k_1\mathbf{v_1}+k_2\mathbf{v_2}+\cdots+k_n\mathbf{v_n}$일 때
$$T(\mathbf{u})=(k_1,k_2,\ldots,k_n)$$
로 정의한다.
$T$는 선형변환이다(증명 생략). $\mathbf{u}=k_1\mathbf{v_1}+k_2\mathbf{v_2}+\cdots+k_n\mathbf{v_n}$, $\mathbf{v}=d_1\mathbf{v_1}+d_2\mathbf{v_2}+\cdots+d_n\mathbf{v_n}$일 때, $\mathbf{u}\neq\mathbf{v}$이면
적어도 하나의 $i$에 대해 $k_i\neq d_i$이므로 $T(\mathbf{u})=(k_1,k_2,\ldots,k_n)$, $T(\mathbf{v})=(d_1,d_2,\ldots,d_n)$에 대해 $T(\mathbf{u})\neq T(\mathbf{v})$이다. 따라서 $T$는 단사이다. 또한 $R^n$의 임의의 벡터 $\mathbf{w}=(c_1,c_2,\ldots,c_n)$에 대해 $T(c_1\mathbf{v_1}+c_2\mathbf{v_2}+\cdots+c_n\mathbf{v_n})=\mathbf{w}$이므로 $T$는 전사이다. 따라서 $T$는 동형사상이고, $V$는 $R^n$과 동형이다.